파스칼의 삼각형으로 구해볼 수 없을까 싶어서 한번 해봤는데요, Pascal's rule에 의하여

\[
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
\]

이고, \(\binom{n}{0}=1, \binom{n}{n}=1\) 임을 이용하면 재귀적인 덧셈으로 이항계수를 구할 수 있을 거라고 추측했습니다.

expl3에서 재귀함수를 정의하는 게 가능하다고는 하지만 속도를 떨어뜨리는 건 어쩔 수 없을테니 되도록 재귀되는 횟수를 줄이고 싶어서 다음 몇 가지 규칙을 더 적용했습니다.

(1) \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \)
(2) \( \binom{n}{1} = n \)
(3) \( \binom{n}{2} = \sum_{i=1}^{n-1} i \)

이상을 expl3로 고대로 옮겨쓰면:

\ExplSyntaxOn

\NewDocumentCommand \simplecombination { m m }
{
    \simple_comb:nn { #1 } { #2 }
}

\cs_new:Npn \simple_comb:nn #1 #2 
{
    \int_compare:nTF { #2 < #1 - #2 }
    {
        \simp_comb_fn:nn { #1 } { #2 }
    }
    {
        \simp_comb_fn:nn { #1 } { \int_eval:n { #1 - #2 } }
    }
}

\cs_new:Npn \simp_comb_fn:nn #1 #2
{
    \int_case:nnF { #2 }
    {
        { 0 }   { 1 }
        { 1 }   { #1 }
        { 2 }   { \sum_to:n { #1 - 1 } }
        { #1 }  { 1 }
    }
    {
        \int_eval:n {
            \simple_comb:nn { \int_eval:n { #1 - 1 } } { \int_eval:n { #2 - 1 } }
            +
            \simple_comb:nn { \int_eval:n { #1 - 1 } } { \int_eval:n { #2 } }
        }
    }
}

\cs_new:Npn \sum_to:n #1
{
    \int_compare:nTF { #1 <= 1 }
    {
        1
    }
    {
        \int_eval:n {
            #1 + \sum_to:n { \int_eval:n { #1 - 1 } }
        }
    }
}

\ExplSyntaxOff

그런데 아무래도 효율적이지는 못해서 30 정도만 돼도 꽤 오래 기다려야 하더군요. 그냥 이런 게 되더라...