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자유글 new pythagorean theorem proof
2023.04.16 18:41
얼마전에 미국의 고등학생 2명이 피타고라스 정리의 새로운 증명을 낸 적이 있었지요.
호기심에 살펴봤는데 삼각법의 기본공식과 무한급수를 이용하여 창의적인 증명방법을 내놓았더라구요
고등학생 수학 수준만으로 해결할 수 있는 기발한 아이디어에 감탄하면서 그들의 증명을 약간 변형하여 보았습니다.
관심있는 분들에게 참고가 되면 좋겠습니다.
tzplot으로 그려봤습니다.
\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tzplot}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% \tzhelplines[semithick](-15,-12)(12,15)
\tzshoworigin*
%%% define coordinates
\tzcoors(-3,0)(B){B}[l]
(0,0)(C){C}[br]
(0,4)(A){A};
%%% basic triangle
\tzpolygon[line width=2pt]
(A){$c$}[al](B){$a$}[b](C){$b$}[r](A);
%%% angles
\settzAAradius{15pt}
\settzRAsize{8pt}
\tzanglemark(B)(A)(C){$\alpha$}
\def\angA{\tzangleresult}
\tzanglemark(A)(B)(C){$\beta$}
\def\angB{\tzangleresult}
\tzrightanglemark(A)(C)(B)
%%% auxiliary triangles
\tzcoors($2*(C)-(B)$)(B'){B$'$}[r]
($2*(C)-(A)$)(A'){A$'$}[b];
\tzpolygon(A){$c$}[ar](B'){$a$}[b](C);
\tzpolygon"A'BC"(B){$c$}[bl](A'){$b$}[r](C);
\tzanglemark(B')(A)(C){$\alpha$}
\tzanglemark(A)(B')(C){$\beta$}
\tzanglemark(B)(A')(C){$\alpha$}
%%% distance AB
\tzdistance(A)(B){\lenC}
%%% upper part (P)
\tzcoor($(A)!\lenC cm!-90:(B)$)(P1)
\tzcoor($(B)!\lenC cm!2*\angA:(A)$)(P2)
\tzcoor(intersection of A--P1 and B--P2)(P){$P$}[al]
\tzline[dashed]"AP"(A)(P)
\tzline[dashed]"BP"(B)(P)
%%% upper repetition
\tzcoor(B)(B0)
\foreach \i in {0,1,...,6}
{ \pgfmathtruncatemacro{\j}{\i+1}
\tzvXpoint{AP}(B\i)(A\j)
\tzcoor($(A\j)!1cm!90:(P)$)(t\j)
\tzcoor(t\j)(tmpT)
\tzcoor(intersection of A\j--tmpT and B--P)(B\j)
\tzrightanglemark(P)(A\j)(B\j)
\tzlines(B\i)(A\j)(B\j);
}
% adding text
\tzline[draw=none](A){$\frac{ac}{b}$}(A1)
\tzline[draw=none](B){$\frac{c^2}{b}$}[r](A1)
\tzline[draw=none](B){$\frac{c^3}{2b^2}$}[l](B1)
%%% lower part (Q)
\tzcoor($(B)!\lenC cm!-90:(A)$)(Q1)
\tzcoor(intersection of B--Q1 and A--B')(Q){$Q$}[b]
\tzline[dashed]"AQ"(A)(Q)
\tzline[dashed]"BQ"(B)(Q)
\tzanglemark'(C)(B)(Q){$\alpha$}(13pt)
%%% lower repetition
\tzcoors(B')(A0)(B)(B0);
\foreach \i in {0,1,2}
{ \pgfmathtruncatemacro{\j}{\i+1}
\tzvXpoint{BQ}(A\i)(B\j)
\tzrightanglemark(B\i)(A\i)(B\j)
\tzhXpoint{AQ}(B\j)(A\j)
\tzrightanglemark(A\i)(B\j)(A\j)
\tzlines(A\i)(B\j)(A\j);
\tzanglemark(B\j)(A\i)(A\j){$\alpha$}
}
\end{tikzpicture}
\end{document}