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감사합니다!
제 취향에 맞게 분수 모양을 \dfrac을 이용하여 조금 바꾸었고, 표준적인 기호인 세미콜론을 사용하지 않고 "[3,4,2]"처럼 사용하도록 바꾸었습니다.
\documentclass{article}
\usepackage{mathtools}
\makeatletter
\newcount\m \newcount\n
\newcount\r \newcount\q \newcount\t
\def\hjmod#1#2{\m=#1 \n=#2
\ifnum\n=0 \else \r=\m
\divide\m by\n \q=\m \multiply\m by\n
\ifnum\m=\r \else\advance\q by 1
\t=\q \multiply\t by\n \m=\t \fi\advance\t-\r \fi}
\def\hjcfrac#1#2{\hjmod{#1}{#2} \number\q
\ifnum\t>0-{\dfrac{\strut1}{\hjcfrac\n\t}}\fi}
\def\lhjcfrac[#1,#2]{\cfr@c#1,#2,\end}
\def\cfr@c#1,#2\end{\ifx#1\ldots\ddots\else#1\fi
\ifx#2\end\else-{\dfrac{\strut1}{\cfr@c#2\end}}\fi}
\makeatother
\begin{document}
\begin{align*}
\frac{19}{7} &=\hjcfrac{19}{7} \\
\frac{415}{93} &=\hjcfrac{415}{93} \\
[3,4,2] &= \lhjcfrac[3,4,2]
\end{align*}
\end{document}